Алексей Паршенков родился в 1962 году. В 1978 году окончил Детскую музыкальную школу № 45 (ныне Детская школа искусств имени Ф. Шуберта) по классу трубы Рема Гехта, в 1982 году – Академическое музыкальное училище при Московской консерватории, в 1989 году – Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского (класс профессора Юрия Усова).
В 1986–1988 гг. – солист оркестра Государственного академического Малого театра, в 1988–2003 гг. – артист Академического симфонического оркестра Московской филармонии. С 2003 года – артист Национального филармонического оркестра России.
Преподавал в музыкальном училище при Московской консерватории, Детской школе искусств № 13, Государственном училище духового искусства.