Алексей Шанин родился в 1978 году в Москве в семье музыкантов. В 1997 году окончил с отличием Академическое музыкальное училище при Московской консерватории (класс Евгения Крюковцева), в 2002 году с отличием – Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского (класс профессора Анатолия Дёмина), в 2004 году – ассистентуру-стажировку МГК. Совершенствовался в Высшей школе музыки и исполнительских искусств в Мангейме, Германия (класс профессора Петера Арнольда).
Был стипендиатом международной благотворительной программы «Новые имена». Лауреат Международного конкурса «Николай Рубинштейн и классическое наследие».
В 1994–1999 гг. в составе квинтета деревянных духовых инструментов и ансамбля солистов выступал во многих городах России и за рубежом (Греция, Германия, Испания, Италия, Франция, Швейцария). В 2000–2003 гг. работал в Германии: в Вюртембергском камерном оркестре Хайльбронна, Камерном оркестре Мангейма и оркестре Юго-Западного радио Германии (SWR) в Кайзерслаутерне.
Играл в составе Государственной академической симфонической капеллы России под управлением Валерия Полянского, сотрудничал с Государственным камерным оркестром «Виртуозы Москвы», Государственным академическим камерным оркестром России, Российским национальным оркестром, оркестром старинной музыки Pratum Integrum (исполнял партии на натуральной валторне), Персимфансом и другими известными коллективами.
С 2003 года – артист Национального филармонического оркестра России.