Михаил Лебедев родился в 1989 году в Москве в семье музыкантов. Окончил Московскую среднюю специальную музыкальную школу (колледж) имени Гнесиных (класс Веры Бириной) и Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского (класс профессора Наталии Шаховской). Принимал участие в мастер-классах Бориса Пергаменщикова, Давида Герингаса, Кирилла Родина и других известных музыкантов.
Лауреат юношеских международных конкурсов в Лицене (Австрия, I премия) и Classica Nova в Ганновере (Германия, II премия), дипломант Всероссийского конкурса «Новые имена» и конкурса «Юношеские ассамблеи искусств».
Был стипендиатом фонда «Новые имена» имени И. Н. Вороновой и Международного благотворительного фонда Владимира Спивакова.
Как солист выступал с оркестром Центрального военного округа Министерства обороны РФ, Российским государственным симфоническим оркестром кинематографии, Государственным академическим камерным оркестром России и др.
В 2008–2010 гг. и в 2012–2020 гг. – артист Академического симфонического оркестра Московской филармонии. С 2020 года – артист Национального филармонического оркестра России, участник Ансамбля виолончелистов НФОР.
В 2012–2019 гг. – участник струнного квартета Akadem Quartet.
Приглашенный артист оркестра «Филармонии наций» под управлением Юстуса Франтца, Тульского филармонического симфонического оркестра, камерного оркестра Art Incognito, участник проекта для детей Mozart for Kids.
Гастролировал во Франции, Нидерландах, Испании, Израиле, Великобритании, Германии, Японии, Южной Корее, Китае, ОАЭ.