Сергей Клименко родился в 1974 году в Москве. В 1998 году окончил Государственный музыкально-педагогический институт имени М. М. Ипполитова-Иванова (класс доцента Александра Соловьёва). С 1994 года начал профессиональную деятельность – работал в Московском государственном симфоническом оркестре, Академическом ансамбле песни и пляски Российской Армии имени А. В. Александрова, Московском государственном академическом симфоническом оркестре под управлением Павла Когана. С 2003 года – артист Национального филармонического оркестра России.
Лауреат Международного конкурса исполнителей на духовых и ударных инструментах имени Н. А. Римского-Корсакова в Санкт-Петербурге (2005, III премия).
Выступал в камерных ансамблях и с сольными программами в различных городах России, Франции и США, участвовал в фестивалях «Возвращение» (в составе Брасс-квинтета НФОР), «Вечера в Мариинском», Скобелевском фестивале, Всероссийском семинаре тромбонистов, Российских оркестрово-хоровых ассамблеях, Рождественском фестивале в Гнесинке и других. Участник проекта «Квартет 4х4» на телеканале «Россия-Культура» (2019).