Александр Соловьёв окончил Российскую академию музыки имени Гнесиных (1998) и ассистентуру-стажировку РАМ (2000) по специальности «хоровое дирижирование» (класс Владимира Семенюка). В 2006 году окончил ассистентуру-стажировку по специальности «оперно-симфоническое дирижирование» под руководством Владимира Федосеева. В 1998–2006 годах совершенствовался под руководством Арнольда Каца.
Победитель Международного конкурса дирижеров имени Димитриса Митропулоса в Афинах (2010).
В 1995–2010 годах работал в Московском государственном академическом камерном хоре под управлением Владимира Минина (второй дирижер). С 2009 года сотрудничает с Центром оперного пения Галины Вишневской. В 2011–2020 годах был дирижером-стажером Большого театра, где вел обширный оперный и балетный репертуар, выступил дирижером-постановщиком оперы «Дитя и волшебство» Равеля, в качестве ассистента дирижера участвовал во многих премьерных постановках. Активно сотрудничал с артистами Молодежной оперной программы.
С декабря 2020 года – главный дирижер Михайловского театра в Санкт-Петербурге.
В качестве ассистента и второго дирижера сотрудничал с выдающимися российскими и зарубежными маэстро, среди которых Владимир Федосеев, Саулюс Сондецкис, Владимир Спиваков, Михаил Плетнёв, Василий Синайский, Марчелло Виотти и Фабио Луизи. Принимал участие в записях для фирм Deutsche Grammophon и Naxos. Выступал со многими известными певцами – Зурабом Соткилавой, Ириной Архиповой, Евгением Нестеренко, Маквалой Касрашвили, Марией Гулегиной, Хиблой Герзмава, Паатой Бурчуладзе, Ильдаром Абдразаковым, Лорой Клейкомб, Томасом Алленом, Лео Нуччи и другими.
Тесно сотрудничает с ведущими российскими коллективами, в том числе с Большим симфоническим оркестром имени П. И. Чайковского, Госоркестром России имени Е. Ф. Светланова, Российским национальным оркестром, камерным оркестром «Виртуозы Москвы» и Национальным филармоническим оркестром России. С сезона 2017/2018 руководит дирижерско-стажерской группой НФОР.
Дирижировал также Государственным симфоническим оркестром «Новая Россия», Московским государственным академическим симфоническим оркестром под управлением Павла Когана, оркестром Чешского радио, Филармоническим оркестром имени Артуро Тосканини, Симфоническим оркестром Дома музыки Порту, оркестрами Екатеринбурга, Тамбова, Костромы и другими. В качестве дирижера проводил финальные туры Международного конкурса оперных певцов Галины Вишневской и Московского конкурса пианистов Владимира Крайнева, «Оперный бал Елены Образцовой» с участием звезд мировой оперы и гала-концерт в честь юбилея композитора Александры Пахмутовой в Большом театре (2019).
С 2001 года преподает на кафедре хорового дирижирования Российской академии музыки имени Гнесиных (с 2008 года – доцент) и руководит студенческим хором заочного отделения, с 2011 года преподает на кафедре оперно-симфонического дирижирования. В 2011–2014 годах руководил оркестром РАМ.