Максим Орехов родился в 1984 году в Москве в семье музыкантов. Окончил Центральную среднюю специальную музыкальную школу при Московской консерватории (класс профессора Геннадия Керенцева), затем Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского (класс профессора Геннадия Керенцева и доцента Алексея Уткина).
В 1997 году стал лауреатом II Международного конкурса юных исполнителей на духовых инструментах, конкурсов «Н. Рубинштейн и московская композиторская школа», «Классическое наследие», телеконкурса «Юные музыканты Москвы», в дальнейшем завоевал награды на I Московском конкурсе юных гобоистов к 80-летию И. Ф. Пушечникова, конкурсах «Юные таланты России» и «Концертино Прага». Был стипендиатом благотворительной программы «Новые имена», Фонда Владимира Спивакова и фонда «Русское исполнительское искусство». С 2004 года — член Ассоциации российских гобоистов.
Ведет активную концертную деятельность, гастролирует по России и за рубежом. Принимал участие в концертах Летней музыкальной академии в Лилиенфильде (Австрия) и в музыкальном фестивале в Южной Богемии.
В 2003–2010 гг. — артист Российского национального оркестра (английский рожок), с 2010 года — артист Национального филармонического оркестра России. С 2008 года преподает в Центральной музыкальной школе — Академии исполнительского искусства.